Automatizando a obtenção da complexidade baseada em linguagem regular de autômatos celulares elementares

Abstract

Autômatos celulares são sistemas dinâmicos e computacionais totalmente discretos no tempo, no espaço e em suas variáveis de estado. Sabe-se que, para um autômato celular elementar, o conjunto de todas as configurações possíveis de se obter decorrida uma quantidade finita de passos de tempo de sua evolução temporal constitui uma linguagem regular. Com isso, esse conjunto de cadeias pode ser representado por um autômato finito determinístico mínimo, e a quantidade de estados e transições entre eles pode ser considerada uma medida da complexidade (em linguagem regular) da regra elementar em questão; tal processo, apesar de eventualmente custoso computacionalmente, está bem resolvido na literatura. No entanto, quando se deseja obter a representação do autômato finito limite, isto é, para uma quantidade infinita de passos de tempo, essa máquina pode não existir para algumas regras, e, mesmo em alguns casos em que se sabe que ela existe, não há ainda um método que a gere automaticamente. O presente trabalho caminha na direção de ajudar a solucionar este último problema, apesar de que ainda não foi possível derivar o algoritmo de comportamento limite. No entanto, avança-se aqui com relação ao método atualmente existente, no sentido de, através de um novo algoritmo, derivar automaticamente expressões de crescimento do autômato finito representativo de cada passo de tempo, inclusive em casos ainda não reportados, o que lança luz sobre a questão original, abrindo perspectivas para que a obtenção automática do autômato finito limite possa ser obtida posteriormente.

Cellular automata are dynamical and computational systems, totally discrete in time, space and their state variables. It is known that, for elementary cellular automata, the set of all possible configurations that can appear at any finite number of time steps in their temporal evolution constitutes a regular language. As a consequence, such a set of strings can be represented by a minimal deterministic finite automaton, and the quantity of states and transitions among them may be considered a measure of the (regular language) complexity of the rule at issue; performing such a process may be computationally intensive, but it is well solved in the literature. However, when the target is the limit finite automaton, that is, the one after an infinite number of time steps, the machine may not exist for some rules, and the currently existing method fails to automatically generate it for some rules for which it is known otherwise that a solution does exist. This work aims at helping the solution of the latter problem, although the actual derivation of the algorithm to automatically generate the limit finite automaton has not yet been possible. However, it goes further the currently existing method, by means of a new algorithm for automatically yielding the growth expressions of the finite automaton representative of each time step, including some cases not reported so far, therefore shedding light over the issue, and opening perspectives for a subsequent automatic derivation of the limit finite automaton.